Nombre réel / imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

1. Soit `\theta` un nombre réel, on pose `z=\text e^{i \theta}` . Montrer que `\frac{z^2-1}{z}` est un nombre imaginaire pur.

2. Soit `z` et `z'` deux nombres complexes de module 1 tels que \(zz' \neq -1\) . Démontrer que `\frac{z+z'}{1+zz'}` est réel, et préciser son module.

Solution

1. On a : \(\begin{align*}\frac{z^2-1}{z}& = \frac{\left(\text e^{i\theta}\right)^2-1}{\text e^{i\theta}}= \frac{\text e^{2i\theta}-1}{\text e^{i\theta}}= \frac{\text e^{i\theta}\left(e^{i\theta}-\text e^{-i\theta}\right)}{\text e^{i\theta}}= \text e^{i\theta}-\text e^{-i\theta}= 2i\sin(\theta) \in i\mathbb{R}\end{align*}\)
donc \(\dfrac{z^2-1}{z} \in i\mathbb{R}\) .

2. Soit \(\theta\) et \(\theta'\) des nombres réels tels que \(z=\text e^{i\theta}\) et \(z=\text e^{i\theta'}\)
\(\dfrac{z+z'}{1+zz'} =\dfrac{\text e^{i\theta}+\text e^{i\theta'}}{1+\text e^{i\theta}\text e^{i\theta'}}= \dfrac{\text e^{i \theta}+\text e^{i \theta'}}{1+\text e^{i(\theta+ \theta')}}= \dfrac{ \text e^{i \frac{\theta + \theta'}{2}} \left( \text e^{i \frac{\theta - \theta'}{2}} + \text e^{i \frac{-\theta + \theta'}{2}} \right)} { \text e^{i \frac{\theta + \theta'}{2} } \left( \text e^{i \frac{- (\theta + \theta') }{2}} + \text e^{i \frac{\theta + \theta'}{2}} \right) }= \dfrac{ \text e^{i \frac{\theta - \theta'}{2}} + \text e^{i \frac{- (\theta - \theta')}{2}} } { \text e^{i \frac{- (\theta + \theta') }{2}} + \text e^{i \frac{\theta + \theta'}{2}} }= \dfrac{2 \cos \left( \frac{\theta - \theta'}{2} \right) }{2 \cos \left( \frac{\theta + \theta'}{2} \right)}= \dfrac{ \cos \left( \frac{\theta - \theta'}{2} \right) }{ \cos \left( \frac{\theta + \theta'}{2} \right)}\)

Donc \(\dfrac{z+z'}{1+zz'}\) est un nombre réel, de module \(\dfrac{ \left\vert \cos \left( \frac{\theta - \theta'}{2} \right) \right\vert }{ \left\vert \cos \left( \frac{\theta + \theta'}{2} \right) \right\vert}\) .